MAKALAH TEORI BILANGAN FAKTORISASI BILANGAN BULAT DISUSUN SEBAGAI SALAH SATU TUGAS “TEORI BILANGAN”

MAKALAH TEORI BILANGAN

FAKTORISASI BILANGAN BULAT

DISUSUN SEBAGAI SALAH SATU TUGAS

“TEORI BILANGAN”

Disusun Oleh Kelompok VII

1.      Dewi Rakli A.L (15030002)

2.      Lidia Untari N.  (15030007)

3.      Galih Krisna Y.  (15030016)

4.      Siti Nurokhimah (12030011)

STKIP Muhammadiyah Pringsewu Lampung

BAB I

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

Kegiatan pendidikan selalu berlangsung di dalam suatu lingkungan. Dalam konteks pendidikan, lingkungan dapat diartikan sebagai segala sesuatu yang berada di luar diri anak. Lingkungan dapat berupa hal-hal yang nyata, seperti tumbuhan, orang, keadaan, politik, kepercayaan dan upaya lain yang dilakukan manusia, termasuk di dalamnya adalah pendidikan.

Faktorisasi adalah pecahan bilangan komposit yang terdiri dari bilangan-bilangan pembagi yang lebih kecil, dan hasil perkalian dari bilangan-bilangan tersebut sama dengan bilangan komposit yang disebutkan. Contohnya, faktorisasi prima bilangan 84 adalah 2x2x3x7, di mana bilangan 2, 3 dan 7 adalah bilangan prima dan bilangan pembagi 84. Faktorisai juga terdapat pada fungsi limit,suku banyak, aljabar, dll.

B.       Rumusan Masalah

a.         apa itu faktorisasi BILANGAN PRIMA ?

b.         Bagaimana faktorisasi tunggal?

C.      Tujuan Penulisan

Untuk mengetahui apa faktorisasi bilangan buat dan apa aja yang ada di dalam faktorisasi bilangan bulat.

BAB II

FAKTORISASI BILANGAN BULAT

A.  Bilangan Prima

Kita telah mengenal dua bilangan bulat positif saling prima ( prima relative atau koprima), yaitu faktor persekutuan terbesar dari dua bilangan itu sama dengan 1. Apabila  adalah bilangan bulat positif sedemikian sehingga =1, maka  dikatakan bahwa  saling prima pula. Tetapi, jika  untuk setiap I, j= 1, 2, 3,…, n dengan i , maka dikatakan bahwa bilangan-bilangan bulat positif  saling prima dua-dua atau saling prima sepasang demi sepasang.

Contoh:

1)      Karena (5,8,9) =1 , maka 5,8,9 dikatakan 3 bilangan uyang seling prima dan sekaligus saling prima sepasang demi sepasang , karena (5,8) = (5,9) = (8,9)=1

2)      Karena (3,9,4,8 )= 1 maka 3,4,8, dan 9 adalah 4 bilangan yang saling prima, tapi bukan merupakan 4 bilangan yang saling prima sepasang demi sepasang , sebab (3,9)=3 dan (4, 8)= 4, meskipun (3,4)=(3,8)=(9,4)=1

Misalakan a dan b bilangan bulat positif, maka menurut algolritma pembagi ada bilangan bulat q dan r sedemikian sehingga

b= qa+r dengan 0

Apabila diketahui (a,r) = 1 , aka menurut teorema FBP yaitu jika b= aq+r, maka (b,a) =(a,r),oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa (a,b)=1. Hal ini dapat dikatakan  bahwa apabila sisia pembagian b oleh a saling prima dengan a, maka b saling prima dengan a pula.

Definisi 4.1:

Bilangan bulat positif yang lebih dari1 dan tidak mempunyai factor bulat positif kecuali 1 dan bilangan bulat itu sendiri sisebut bilangan prima. Bilang bulat positif  yang lebih dari 1 dan bulan bilangan prima disebut bilangan kompisit (tersususn).

Barisan bilangan prima: 2,3,5,7,11,13,17…

Barisan bilangan komposit : 4,6,8,10,12,14,15…

Perhatikan bahwa 1 bukan bilangan prima dan bukan bilangan komposit pula. Satu (1) disebut unit. Jadi himpunan semua bilangan positif (bilanga asli) terbagi dalam 3 himpuna bagian yang saling lepas yaitu:

1)   Himpuna semua bilanga prima

2)   Himpunan semua bilangan komposit

3)   Himpunan unit

Perhatikan suatu bilangan positif , misalnya 210, maka 210 dapat diuraiak atas faktor-faktor prima, yaitu:

210 = 2.3.5.7 atau

210 =3.7.2.5 atau

210 = 7.3.5.2 atau yang lainya

Perbedaan penguraian  dari 210 atas factor-faktor prima hanya berbeda pada urutan factor-faktornya saja. Hal ini merupaka suatu contoh bahwa suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat dinyatakan sebagai pekalian bilangan prima tertentu.

Bentuk perkalian bilangan prima itu adalah tunggal, kecuali urutan dari bilanga prima tersebut. Hal ini sering Teorema Faktorisasi Tunggal, teorema berikut akan digunakan untuk membuktikan faktorisasi tunggal.

Teorema 4.1:

Setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat dibagi oleh suatu bilanga prima.

Bukti :

Ambil sembarang bilanga bulat positif n 1. Apabila n suatu bilang prima, maka  ,berarti teorema telah terbukti.

Apabila n suatu bilanga komposit, maka n mempunyai factor bulat positif selain 1 dan n sendiri, misalkan d₁ , yaitu . Segingga ada bilang positif n1 sedemikian sehingga :                        n₁= d₁n₁ dengan 1

Jika n₁ suatu bilang prima ,maka , sehingga teorema terbukti. Tetapi jika n₁ suatu bilangna komposit, maka n₁ mempunyai faktor bulat positif selain 1 dan n, misalnya d₂, yaitu sehingga ada bilangan bulat  positif n₂ sedemikian sehingga :                    n₁= d₂n₂ dengan 1

Jika n₂ suatu bilangan prima, maka . Jadi n terbagi oleh bilangn prima n₂, berarti teorema terbukti. Tetapi jika n₂ suatu bilangna komposit, maka n₂ mempunyai faktor bulat positif selain 1 dan n₂, misalkan d₃, yaitu .Ini berarti ada bilangan bulat positif n₃ sedemikian sehingga:

                        n₂= d₃n₂ dengan 1

Jika n₃ suatu bilangan prima, maka . Karena  dan , maka .  Jadi n terbagi oleh bilangn prima n₃, berarti teorema terbukti. Tetapi jika n₃ suatu bilangna komposit, maka proses seperti diatas dapat dilanjutkan sedemikian sehingga diperoleh suatu barisan :

n dengan 1  

Penguraian atas faktor-faktor komposit ini tentu berakhir pada suatu factor prima, karena fsktor-faktoer tersebut selalu lebih kecil dari bilangan yang difaktorkan dan selalu lebih besar dari 1. Misalkan pemfaktoran tersebut berakhir pada factor prima n_k, maka:

, ,...,  dan , sehingga  .

Bukti alternatif lain :

Karena n suatu bilangan positif yang lebih besar dari 1, maka n mempunyai sekurang-kurangnya satu factor bulat positif, katakana n sendiri. Sehingga n mesti mempunyai faktor bulat positif terkecil, misalnya q, maka q adalah suatu bilangan prima. Sebab jika q bukan bilangan prima, maka q= q₁q₂ dengan

1 sehingga q₁ adalah faktor bulat positif dari n, tetapi karena q merupakan faktor bulat positif terkecil dari n, maka terdapat kontradiksi.

Memperhatikan teorema diatas , suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 selalu terbagi oleh suatu bilangn prima, maka hasil baginya pun akan terbagi dengan suatu bilangan prima pula. Dan hasil bagi berikutnya pun  sedemikian  pula. Sehingga suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari ilangan prima tertentu.

Teorema 4.2 :

Seetiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilang prima atau bilang itu dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan-bilangan prima.

Bukti:

Ambil sembarang bilangan bulat positi n . Menurut teorema4.1, maka ada sutu bilngan p₁ sedemikian sehingga . Sehingga ada suatu bilangan n₁, sehingga:             n = p₁n₁ dengan 1

Jika n₁=1, maka n=p1 sehingga n suatu bilang prima. Tetapi jika n  maka menurut torema pertama ada suatu bilangan prima p₂ sedemikian sehingga

. Sehingga ada suatu bilangan bulat positif n₂ , sehingga:

= p₂n₂ dengan 1

Jika n₂=1 , maka n₁=p₂. Sehingga n=p₁p₂ berarti teorema terbukti. Tetapi jika n₂   , maka ada suatu bilangan prima p₃ sedemikian sehingga:

= p₃n₃ dengan 1

Jika n₃ = 1, maka n₂ = p₃ sehingga n=p₁p₂p₃. Berarti teorema terbukti. Tetapi Jika n₃ , maka proses seperti diatas dapat dilanjutkan sehingga akan berakhir pada n_k=1 , maka diperoleh n= p₁p₂p₃…p_n, yaitu bilangan bulat positif n , maka dinyatakn sebagai perkalian bilangan prima.

Suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dapat di nyatakan sebagai perkalian bilangan bilangan bilangan prima. mungkin saja di antara faktor-faktor prima tersebut ada yang sama.  Maka faktor-faktor yang sama dapat di tulis sebagai bilangan berpangkat.

Contoh4.2

5544=2.2.2.3.3.7.11 dapat di tulis 5544 = hal ini secara umung , jika n bilangan bulat positf yang lebih besar dari 1 dapat di nyatakan sebagai :

n = . .  dengan  adalah faktor- faktor prima dari n dan  adalah eksponen- eksponen dari p,

Teorena 4.2 tersebut memudahkan  untuk nentukan FPB dan KPK dari dua bilangan bulat atau lebih yaitu dengan menyatakan masing masing bilangan bulat itu k dalam bentuk kanoniknya . tetapi sebelum itu,kita perlu mengenal terlebih dahulu notasi notasi berikut ini.

“min (a,b)”menyatakan nilai minimum dari a dan b .

“maks (a,b)” menyatakan nilai maksimun dari  a dan b .

Misalnya : min (7,5) = 5 maks (8,3) = 8 dan Min (5,0,3) = 0 maks (7,4 ,5,0) = 7

Misalkan m,n dan t adalah bilangan bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang bentuk- bentuk kanoniknya berturut turut sebagai berikut:

       m =

       n =

       t =

Maka FPB dan KPK berturut turut adalah

(m,n ,t) =  dngan  = min ( ) untuk i = 1,2,3,....,k.

[m,n,t ] =  dengan  = maks ( ) untuk i = 1,2,3,....,k.

Contoh 4.3

Tentukqn FPB dan KPK dari 198, 216,dan 252

Penyesaian apabila tiga bilangan tersebut  di uraikan atas faktor- faktor prima maka diperoleh

       198 =2.

       216 =

       252 = =

Uraian atas faktor –faktor prma tersebut dapat di tulis sebagai berikut :

       198 =

       216 =

       252 = = .

       (198,216, 252) =

                             = .

                             = 18

       (198,216, 252) =

                               =216 =

                               =16632

Apabila diberikan suatu bilangan bulat  positif misalnya 2167 , apakah bilangan ini suatu bilangan prima ?untuk menjawab pertanyaan ini kita mencoba-coba bilangan tersebut dengan 2,3,4,5 dan seterusnyasampai suatu bilangan yang tidak lebih dari bilangan tersebutapabila bilangan tersebut tak terbagi oleh bilangan bilangan tersebut ,maka bilangan tersebutb adalah suatu bilangan prima cara ini jelas tidak evisien berikut ini teorema yang memberikan batas sampai bilangan bulat positiir mana kita berhenti membagi dan segera menyimpulkan bahwa bilangan tersebut adalah bilangan  prima

Teorema 4.3

Jika n suatu bilangan komposit ,maka n memiliki faktor k dengan  1 k

Bukti : karna n suatu bilangan komposit  maka ada bilangan- bilangan positif k dan m sedemikian hingga        km = n dengan 1 k n dan 1   n

 apabila k dan m kedua-duanya lebih besar dari  yaitu k     dan m maka n =km   .   = n

terdapat n  n hal ini tidak mungkin . oleh karena itu salah satu dari k atau m tidak lebih kecil dari  , misalnya k  yaitu  1  k  

Jadi n memiliki faktor k dengan 1   k  

Teorema 4.3 tersebut sama benarnya dengan kontra posisinya yaitu apabila bilangan bulat positif n tidak memiliki faktor k dengan 1   k    maka n adalah suatu bilangan prima.

Dengan kontaposisi teorema 4.3 tersebut maka untuk menentukan untuk menentukan apakah .2167 merupakansuatu bilangan prima atau bukan kita harus coba membagi bilangan itu dngan 2,3,4,5,...46, . Teteapi ingat bahwa 2167 takterbagi oleh 2 maka 2167 takterbagi oleh kelipatan 2. Demikian pula 2167 tebarbagi oleh 3, maka 2167 tebarbagi oleh kelipatan 3.demikian seterusnya sehingga kiatacukub mencoba-coba membagi bilangan tersebut dengan dengan bilangan- bilangan prima yang kurang dari 46.

Dari contoh tersebut kita dapat memperketat syarat perlu dari teorema 4.3 sehinga diperoleh teorema sebagai berikut

Teorema 4.4

Jika bilangan  bulat positif n tidak memiliki faktor prima p dengan 1  p , maka n suatu bilangan prima.

Buktikan teorema tersebut dengan dengan menyatakan terlebih dahulu kontra posisinya, yaitu  Jika n suatu bilangan kompositif, maka n memilki faktor prima p dengan 1  p  

B.  Faktorisasi Tunggal

Pada sub bab sebelumnya telah dibicarakan bahwa bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 terbagi oleh suatu bilangan prima, sehingga setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima tertentu. Pada sub ini kita akan mempelajari bahwa suatu pemfaktoran suatu bilangan bulat positif atas faktor-faktor prima adalah tunggal, sehingga kita mengenalnya sebagai faktorisasi tunggal. Tetapi sebelum membicarakan faktorisasi tunggal , kita akan mempelajari beberapa teorema sebagai persiapan untuk mempelajari faktorisasi tunggal.

Teorema 4.5:

Jika p suatu bilangan prima dan p| ab. Maka  p|a  atau  p|b

Bukti:

Karena p suatu bilangan prima,maka untuk sembarang bilangan bulat a berlaku (a,p) = 1 atau (a,p) =p. jika (a,p)=1 dan p|ab, kita pernah membuktikan bahwa p|b. Buktikanlah kembali. Jika (a,p) = p maka p|a. Jadi terbukti bahwa p|a  atau  p|b.

Teorema 4.5 ini dapat diperluas untuk bilangan-bilangan a₁,a₂,a₃,…a_n, yaitu : Jika p suatu bilangan prima dan p|a₁ a₂ a₃ …a_n, maka p|a_i untuk setiap i =1,2,3,…,n.

Bukti:

Kita akan membuktikan dengan induksi matematika pada  n, yaitu banyaknya faktor. Untuk n = 1,yaitu p|a1,jelas benar, Untuk n=2, yaitu p|a₁ a₂, karena p suatu bilangan prima. Maka menurut Teorema 4.5  p|a₁ atau p|a₂.

Diambil sebagai hipotesis induksi untuk t dengan 2 yaitu p bilangan prima dan p |a₁,a₂,a₃,…a_t maka p|a_k untuk 2

Pandang p|a₁,a₂,a₃,…a_n atau dapat ditulis sebagai p| (a₁,a₂,a₃,…a_n-1) (a_n), maka menurut Teorema 4.5 lagi diperoleh bahwa p|a₁a₂a₃…a_n-2 atau p|a_n-1.

Jika p|a_n-1 maka teorema terbukti.

Jika p|a₁a₂a₃…a_n-2 maka proses diatas dapat diteruskan.

Berdasarkan hipotesis yang diambil, maka proses tersebut mesti akan berhasil. Berati bilangan prima p membagi salah satu dari  a₁a₂a₃…a_n.

Jika pada teorema 4.5 diambil kasus bahwa p,q,dan r masing-masing bilangan prima dan p|qr maka p|q atau p|r ,yaitu  p=q atau p=r. karena p,q dan r masing-masing bilangan prima,kasus tersebut dapat diperluas sebagai berikut :

Jika p, q₁,q₂,q₃,…,q_n semuanya bilangan prima dan p|q₁q₂q₃…q_n maka P=q_k untuk suatu k dengan 1

Selanjutnya kita akan membuktikan ketunggalan dari faktorisasi prima dari suatu bilangan bulat positif. Teorema ini sering disebut faktorisasi tunggal yang merupakan teorema dasar dalam matematika.

Teorema 4.6

Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 atas faktor-faktor prima adalah tunggal,kecuali urutan dari faktor-faktornya.

Bukti:

Pada teorema 4.2 kita telah membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan itu dapat dinyatakan sebagai perkalian dari bilangan-bilangan prima tertentu. Sekarang kita akan membuktikan bahwa faktor-faktor  prima tersebut adalah tunggal.

Ambil sembarang bilangan bulat positif  n 1. Jika n suatu bilang prima, maka n adalah faktornya sendiri. Jika n suatu bilangan komposit dan diandaikan bahwa pemfaktoran n atas faktor prima adalah tidak tunggal,misalnya n = p₁,p₂,p₃,…,p_t dan n = q₁,q₂,q₃,…q_r dengan p_i dan q_j masing-masing adalah bilangan prima untuk  i = 1,2,3,…,r serta  p₁  dan q₁

Karena n = p₁p₂ …p_t maka  p₁|n sehingga p₁|q₁q₂q₃…qr dan selanjutnya menurut perluasan teorema 4.5,maka p₁-q_k untuk suatu k dengan 1  dan mengingat q1

Karena n =q₁q₂…q_r maka q₁|n sehingga q₁ |p₁p₂…p_t. dan menurut perluasan teorema 4.5,maka q₁=p_m.untuk suatu m denga 1  dan mengingat p1

Karena p1  sehingga dari permisalan n di atas kita memperoleh bahwa p₂,p₃…p_t=q₂q₃…q_r. Bila proses ini diteruskan,maka kita akan memperoleh bahwa p₂=q₂ sehingga p₃ p₄…p_t=q₃q₄…q_r. P₃=q₃ sehingga p₄ p₅…p_t=q₄ q₅ …q_r   dan seterusnya.

Apabila t=r maka proses tersebut akan berakhir pada p_t=q_r dan teorema terbukti. Tetapi apabil t maka akan diperoleh bahwa :

                   1=q₁+1 q₁+2 q₁+3…qr.

Hal ini mustahil,karena q_t+1q_t+2q_t+3…q_r adalah bilangan-bilangan prima,maka haruslah t=r sehingga :

                   P₁=q₁.p₂=q₂.p₃=q₃…p_t=q_r

Ini berarti bahwa bilangan bulat positif n tersebut hanya dapat dinyatakan sebagai hasilkali faktor-faktor prima secara tunggal.

Pembuktian yang lebih singkat dari teorema faktorisasi tunggal tersebut menggunakan induksi mstematik ini dengan memperhatikan petunjuk berikut.

Apakah teorema benar untuk n = 2 ?

Sebagai hipotesis,misalkan teorama benar untuk suatu bilangat bulat positif n  dan harus ditunjukan bahwa teorema benar untuk n = k+1.

Misalkan k +1 = p₁ p₂ …p_t = q₁q₂q₃…q_r dengan p_t dan q_r masing-masing adalah bilangan prima … dan seterusnya seperti bagian pembuktian diatas sehingga diperoleh p₁=q₁ dan p₂ …p_t =q₂q₃…q_r. Bilangan ino lebih kecil atau sama dengan k. mengingat hipotesis ,maka teorema benar  untuk n=k+1.

Dengan demikian terbukti teorema tersebut.

Kita mengetahui bahwa banyaknya bilangan asli adalah tak terhingga dan setiap bilangan bulat positif  dapat difaktorkan atas faktor-faktor prima. Apakah banyaknya bilangan prima itu tak berhingga pula?

Euclides membuktikan dengan bukti tak langsung ( bukti dengan kontraiksi) bahwa banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga.

Misalkan , , , ,… adalah urutan bilangan-bilangan prima dan andaikan ada bilangan prima terbesar, misalkan , sekarang dibentuk suatu bilangan positif : 

Karena , menurut teorema 4.1, maka N dapat dibagi oleh suatu bilangan prima, sehinga N dapat dibagi oleh sekurang-kurangnya satu bilangan prima dari :                                                       

Misalnya bilangan prima dengan yang membagi N yaitu

 dengan dan maka

Hal ini tidak mungkin, karena adalah suatu bilangan prima. Oleh karena itu pengandaian bahwa ada bilangan prima terbesar adalah tidak benar; sehingga pengandaian itu salah dan diperoleh bahwa tak ada bilangan prima tersebut. Atau dengan kata lain bahwa banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga. Hal ini dikenal sebagai Teorema Euclides sebagai berikut  :

Teorema 4.7 (Teorema Euclides)

Banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga.

Apakah N tersebut suatu bilangan prima?

Misalkan kita memulai untuk bilangan prima pertama yaitu 2, maka kita peroleh :

Tunjukkan bahwa tersebut masing-masing adalah bilangan prima. Selanjutnya tentukanlah . Tunjukkan bahwa ini bukan bilangan prima!

                              

Suatu pertanyaan yang jawabannya belum diketahui, apakah ada tak berhingga k sedemikian hingga  suatu bilangan prima pula. Demikian pila, apakah ada tak berhingga bilangan komposit ?

Perhatikan barisan bilangan prima 2,3,5,7,..., .  adalah bilangan prima ke-n. Sekarang kita tentukan suatu batas atas dari barisan bilangan prima  tersebut. Pada pembuktian Teorema Euclides di atas dapat diambil kesimpulan bahwa :

Contoh :

Jika n=3, maka ketidaksamaan itu menjadi

Ketidaksamaan ini menunjukkan bahwa bilangan prima ke-4 kurang dari 126. Pendekatan yang lebih baik diberikan pada teorema berikut ini.

Teorema 4.8 :

Dalam suatu barisan bilangan prima, jika  menyatakan bilangan prima ke-n, maka:                           

Bukti :

Gunakan induksi matematik pada n.

Untuk n=1 diperoleh  yaitu . Benar, karena bilangan prima pertama adalah 2.

Diasumsikan benar untuk n=k, yaitu :       

Selanjutnya, harus dibuktikan bahwa teorema benar untuk n= k+1, yaitu . Perhatikan bahwa :

Mudah ditunjukkan bahwa , yaitu deret geometri dengan rasio 2. Sehingga diperoleh :

Karena  untuk setiap bilangan asli k maka ketidaksamaan itu menjadi :

Karena teorema benar untuk n=1, benar untuk n=k, dan telah ditunjukkan benar untuk n=k+1, maka teorema benar untuk setiap bilangan asli n.

Berdasarkan teorema diatas, maka bilangan prima ke (n+1), yaitu . Sehingga banyaknya bilangan prima yang lebih kecil dari  tidak kurang dari (n+1) buah. Jadi untuk , maka ada paling sedikit n+1 buah bilangan prima yang lebih kecil dari .

BAB III

SIMPULAN

Simpulan 1

1.        Bilangan bulat positif yang lebih besar dari satu dan tidak mempunyai faktor bulat positif kecuali 1 dan bilangan bulat itu sendiri disebutbilangan prima . bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 dan bukan bilangan prima disebut bilangan komposit(tersusun).

2.        Setiap ilangan bulat positif yang lebih besar dari 1dapat di bagi oeh satu bilangan prima

3.        Setiab bilangan bulat positif yang lebih dari 1 adalah suatu bilangan prima atau bilangan tersebut dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima

4.        Jika n suatu bilangan positif yang lebih besar dari satu maka n dapat dinyatakan sebagai  n = dengan adalah faktor faktor prima dari n dan  adalh eksponen eksponen bulat tak negatif bentuk ini representasi dari n sebagai perkalian bilangan- blanban prima atau sering pula di sebut bentuk kenonik dari n

5.        Jika n,m dan t adalahbilangan- bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang bentuk- bentuk kenoniknya berturut-turut sbb m=  n = ;t = , maka FPB dan KPK dari m,n,dan t berturut-turut adalah (m,n ,t) =  dngan  = min ( ) untuk i = 1,2,3,....,k.

       [m,n,t ] =  dengan  = maks ( ) untuk i = 1,2,3,....,k.

6.        Jika n suatu bilangan komposit maka n tidak memiliki faktor k dengan 1  k ,atau dikatakan :jika bilangnan bulat positif n tidak memiliki faktor k dengan1  k , maka n suatu bilangan prima

Simpulan 2

1.    Jika p suatu bilangan prima dan , maka  dan

2.    Jika p suatu bilangan prima dan , maka , untuk suatu

3.    Jika  semuanya bilangan prima dan , maka  untuk suatu .

4.    Pemfaktoran suatu bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 atas faktor-faktor prima adalah tunggal, keuali urutan dari faktor-faktornya.

5.    Banyaknya bilangan prima adalah tak berhingga, atau tidak ada bilangan prima yang terbesar.

6.    Dalam suatu barisan bilangan prima,jika  menyatakan bilangan prima ke-n, maka .

7.    Untuk , maka ada paling sedikit n+1 buah bilangan prima yang lebih kecil dari

DAFTAR PUSTAKA